Question

10．對于函數(shù)f（x）、g（x），存在函數(shù)h（x），使得f（x）=g（x）•h（x），則稱f（x）是g（x）的“h（x）關(guān)聯(lián)函數(shù)”．
（1）已知f（x）=sinx，g（x）=cosx，是否存在定義域為R的函數(shù)h（x），使得f（x）是g（x）的“h（x）關(guān)聯(lián)函數(shù)”？若存在，寫出h（x）的解析式；若不存在，請說明理由；
（2）已知函數(shù)f（x）、g（x）的定義域為[1，+∞），當(dāng)x∈[n，n+1）時，f（x）=2^n-1sin$\frac{x}{n}$-1，若存在函數(shù)h₁（x）及h₂（x），使得f（x）是g（x）的“h₁（x）關(guān)聯(lián)函數(shù)”，且g（x）是f（x）的“h₂（x）關(guān)聯(lián)函數(shù)”，求方程g（x）=0的解．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)存在定義域為R的函數(shù)h（x），使得f（x）是g（x）的“h（x）關(guān)聯(lián)函數(shù)”．再由同角的三角函數(shù)的關(guān)系式，即可判斷；
（2）由題意可得f（x）=g（x）h₁（x），g（x）=f（x）h₂（x），相乘可得，h₁（x）h₂（x）=1，即有g(shù)（x）=0，即為f（x）=0，解三角方程，即可得到所求的解．

解答 解：（1）假設(shè)存在定義域為R的函數(shù)h（x），
使得f（x）是g（x）的“h（x）關(guān)聯(lián)函數(shù)”．
即有sinx=cosx•h（x），解得h（x）=tanx，
由tanx的定義域為{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}，
故不存在定義域為R的函數(shù)h（x）；
（2）由題意可得f（x）=g（x）h₁（x），g（x）=f（x）h₂（x），
相乘可得，h₁（x）h₂（x）=1，
即有g(shù)（x）=0，即為f（x）=0，
即2^n-1sin$\frac{x}{n}$-1=0，即sin$\frac{x}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
解得$\frac{x}{n}$=2kπ+arcsin$\frac{1}{{2}^{n-1}}$或2kπ+π-arcsin$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（k≥0且k∈Z），
即為x=n（2kπ+arcsin$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）或n（2kπ+π-arcsin$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）（k≥0且k∈Z）．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查運算能力，屬于中檔題．