Question

17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosωx，cosωx），$\overrightarrow{n}$=（sinωx，-cosωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最小正周期為$\frac{π}{2}$．
（1）化簡(jiǎn)f（x）；
（2）求ω的值；
（3）當(dāng)m為何值時(shí)，直線y=m與函數(shù)y=f（x），x∈[0，$\frac{π}{4}$]的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，然后根據(jù)二倍角的正余弦公式及兩角差的正弦公式即可得出f（x）=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
（2）根據(jù)f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$便有，$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}$，從而可求得ω=4；
（3）根據(jù)題意便知，方程m+$\frac{1}{2}$=$sin（4x-\frac{π}{6}）$只有一個(gè)解，可換元，令4x-$\frac{π}{6}$=t，從而得出直線y=m+$\frac{1}{2}$和y=sint，在t$∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$上只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣根據(jù)正弦函數(shù)在$[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$上的圖象即可得出m的取值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}sinωxcosωx-co{s}^{2}ωx$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1+cos2ωx}{2}$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=sin（2ωx-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
（2）∵f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$；
∴$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}$；
∴ω=2；
（3）$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
根據(jù)題意，方程$m=sin（4x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$只有一個(gè)解；
即方程$m+\frac{1}{2}=sin（4x-\frac{π}{6}）$只有一個(gè)解，令4x-$\frac{π}{6}$=t，$t∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$；
∴直線y=$m+\frac{1}{2}$和y=sint在t$∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：

根據(jù)圖象看出y=1和y=-$\frac{1}{2}$都和y=sint在[$-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]上只有一個(gè)交點(diǎn)；
即$m=\frac{1}{2}$，或m=-1時(shí)，直線y=m和函數(shù)y=f（x），x$∈[0，\frac{π}{4}]$的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角的正余弦公式，兩角差的正弦公式，以及三角函數(shù)周期的概念及其求法，直線和曲線交點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的直線方程和曲線方程形成方程組解的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合解題的方法，熟悉正弦函數(shù)圖象．