Question

已知雙曲線C：x²-

y2

2

=1的左頂點為A₁，右焦點為F₂，P為雙曲線右支上一點．
（1）求

PA1

•

PF2

的最小值；
（2）若直線l為圓O：x²+y²=2上動點Q（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）處的切線，且與雙曲線C交于不同的兩個點A，B，證明△ABO為直角三角形．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)P（x，y）（x≥1），根據(jù)雙曲線的方程，易得A₁、F₂的坐標(biāo)，將其代入

PA1

•

PF2

中，可得關(guān)于x、y的關(guān)系式，結(jié)合雙曲線的方程，可得

PA1

•

PF2

=3x²-（

3

-1)x-

3

-2，由x的范圍，可得答案．
（2）先求出圓的切線方程，再把切線與雙曲線方程聯(lián)立求出關(guān)于點A，B坐標(biāo)之間的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可證明∠AOB為直角．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)P（x，y）（x≥1），
易得A₁（-1，0），F(xiàn)₂（

3

，0），

PA1

•

PF2

=（-1-x，y）•（

3

-x，y）=x²-（

3

-1)x-

3

+y²，
又x²-

y2

2

=1，故y²=2（x²-1），
于是

PA1

•

PF2

=3x²-（

3

-1)x-

3

-2，（x≥1）
當(dāng)x=1時，取到最小值2-2

3

；
（2）證明：設(shè)P（m，n）（mn≠0）在x²+y²=2上，
圓在點P（m，n）處的切線方程為y-n=-

m

n

（x-m），
化簡得mx+ny=2．
由

x2- y2 2 =1 mx+ny=2

以及m²+n²=2得
（3m²-4）x²-4mx+8-2m²=0，
∵切L與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且0＜m²＜2，
3m²-4≠0，且△=16m²-4（3m²-4）（8-2m²）＞0，
設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別（x₁，y₁），（x₂，y₂），
x₁+x₂=

4m

3m2-4

，x₁x₂=

8-2m2

3m2-4

．
∵cos∠AOB=

OA • OB

| OA |•| OB |

，
且

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

1

2-m2

[4-2m（x₁+x₂）+m²x₁x₂]
=

8-2m2

3m2-4

+

1

2-m2

[4-

8m2

3m2-4

+

m2(8-2m2)

3m2-4

]
=

8-2m2

3m2-4

-

8-2m2

3m2-4

=0．
∴∠AOB的大小為90⁰．
即△ABO為直角三角形．

點評：本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，涉及最值問題；解題的思路是先設(shè)出變量，表示出要求的表達(dá)式，結(jié)合圓錐曲線的方程，將其轉(zhuǎn)化為只含一個變量的關(guān)系式，進(jìn)而由不等式的性質(zhì)或函數(shù)的最值進(jìn)行計算．