【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+ )=2 .
(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),
移項(xiàng)后兩邊平方可得 +y2=cos2α+sin2α=1,
即有橢圓C1: +y2=1;
曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+ )=2 ,
即有ρ( sinθ+ cosθ)=2
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x+y﹣4=0,
即有C2的直角坐標(biāo)方程為直線x+y﹣4=0
(2)
解:由題意可得當(dāng)直線x+y﹣4=0的平行線與橢圓相切時(shí),
|PQ|取得最值.
設(shè)與直線x+y﹣4=0平行的直線方程為x+y+t=0,
聯(lián)立 可得4x2+6tx+3t2﹣3=0,
由直線與橢圓相切,可得△=36t2﹣16(3t2﹣3)=0,
解得t=±2,
顯然t=﹣2時(shí),|PQ|取得最小值,
即有|PQ|= = ,
此時(shí)4x2﹣12x+9=0,解得x= ,
即為P( , )
【解析】(1)運(yùn)用兩邊平方和同角的平方關(guān)系,即可得到C1的普通方程,運(yùn)用x=ρcosθ,y=ρsinθ,以及兩角和的正弦公式,化簡(jiǎn)可得C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)由題意可得當(dāng)直線x+y﹣4=0的平行線與橢圓相切時(shí),|PQ|取得最值.設(shè)與直線x+y﹣4=0平行的直線方程為x+y+t=0,代入橢圓方程,運(yùn)用判別式為0,求得t,再由平行線的距離公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐標(biāo).
本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,同時(shí)考查直線與橢圓的位置關(guān)系,主要是相切,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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【題目】已知函數(shù)的最大值為.
(Ⅰ)求常數(shù)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)若將的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
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【題目】設(shè)f(x)是定義在R 且周期為1的函數(shù),在區(qū)間上, 其中集合D=,則方程f(x)-lgx=0的解的個(gè)數(shù)是____________
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【題目】已知橢圓 + =1(a>b>0)的離心率為 ,過橢圓上一點(diǎn)M作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn),且斜率分別為k1 , k2 , 若點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則k1k2的值為 .
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【題目】街道旁邊有一游戲:在鋪滿邊長(zhǎng)為9 cm的正方形塑料板的寬廣地面上,擲一枚半徑為1 cm的小圓板,規(guī)則如下:每擲一次交5角錢,若小圓板壓在正方形的邊上,可重?cái)S一次;若擲在正方形內(nèi),須再交5角錢可玩一次;若擲在或壓在塑料板的頂點(diǎn)上,可獲得一元錢,試問:
(1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少?
(2)小圓板壓在塑料板頂點(diǎn)上的概率是多少?
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(1)若直線l的傾斜角為60°,求|AB|的值;
(2)若|AB|=9,求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.
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【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為 (θ為常數(shù)).
(1)求直線l和圓C的普通方程;
(2)若直線l與圓C有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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(Ⅰ)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人?
(Ⅱ)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作.
(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;
(ii)設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”,求事件M發(fā)生的概率.
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