Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-a（x-1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上存在唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)（1）若a≤0，（2）若a＞0，利用多導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并且求解函數(shù)的極值．
（Ⅱ）通過(guò)（1）當(dāng)a≤0時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)判定定理說(shuō)明有零點(diǎn)．（2）當(dāng)a＞0時(shí)，推出x=lna為函數(shù)f（x）的最小值，通過(guò)函數(shù)f（x）在區(qū)間上（0，2]上存在唯一零點(diǎn)，列出不等式求解a的范圍．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-a，--------------------（1分）
（1）若a≤0，則在區(qū)間（-∞，+∞）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．所以當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），沒(méi)有極值點(diǎn)．--------------------（3分）
（2）若a＞0，令f′（x）=0，即e^x=a，解得x=lna，--------------------（4分）
因?yàn)楹瘮?shù)f′（x）=e^x-a在區(qū)間（-∞，+∞）是遞增函數(shù)，
所以在區(qū)間（-∞，lna）內(nèi)f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；在區(qū)間（lna，+∞）內(nèi)f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna），f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞）所以當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值為2a-alna．--------------------（6分）
（Ⅱ）（1）當(dāng)a≤0時(shí)，由（Ⅰ）可知，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
因?yàn)閒（0）=1+a，f（1）=e＞0，--------------------（8分）
令f（0）=1+a＜0，得a＜-1．
所以當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）在區(qū)間上（0，2]上存在唯一零點(diǎn)．--------------------（9分）
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由（Ⅰ）可知，x=lna為函數(shù)f（x）的最小值點(diǎn)
因?yàn)閒（0）=1+a＞0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間上（0，2]上存在唯一零點(diǎn)，則只能是：
①$\left\{\begin{array}{l}f（lna）=0\\ 0＜lna≤2\end{array}\right.$，或②$\left\{\begin{array}{l}f（2）≤0\\ lna＞2\end{array}\right.$．--------------------（11分）
由①得a=e²；由②得a＞e²．
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間上（0，2]上存在唯一零點(diǎn)，
則a＜-1或a≥e²．--------------------（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．