Question

8．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、分別是棱A₁B₁、A₁D₁的中點(diǎn)，
（1）求異面直線AM與CN所成角的余弦值；
（2）求點(diǎn)B到平面AMN的距離．

Answer 1

分析 （1）建系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得向量的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式，可得異面直線AM與CN所成角的余弦值；
（2）求出平面AMN的法向量，利用距離公式求點(diǎn)B到平面AMN的距離．

解答 解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\stackrel{→}{DA}$，$\stackrel{→}{DC}$，$\stackrel{→}{D{D}_{1}}$分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
∴A（4，0，0），M（4，2，4），N（2，0，4），C（0，4，0）
∴$\stackrel{→}{AM}$=（0，2，4），$\stackrel{→}{CN}$=（2，-4，4），
∴$\stackrel{→}{AM}•\stackrel{→}{CN}$=0-8+16=8，
∴cos＜$\stackrel{→}{AM}$，$\stackrel{→}{CN}$＞=$\frac{8}{\sqrt{20}•\sqrt{36}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{15}$，
∴異面直線AM與CN所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{15}$．
（2）設(shè)平面AMN的法向量$\stackrel{→}{n}$=（x，y，z），
∵$\stackrel{→}{AM}$=（0，2，4），$\stackrel{→}{CN}$=（2，-4，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{→}{n}•\stackrel{→}{AM}=0}\\{\stackrel{→}{n}•\stackrel{→}{AN}=0}\end{array}\right.$，取z=1，∴$\stackrel{→}{n}$=（2，-2，1），
∴d=$\frac{|\stackrel{→}{BA}•\stackrel{→}{n}|}{|\stackrel{→}{n}|}$=$\frac{8}{\sqrt{4+4+1}}$=$\frac{8}{3}$，
∴點(diǎn)B到平面AMN的距離為$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線AM與CN所成角的余弦值、點(diǎn)B到平面AMN的距離的計(jì)算，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．