Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1．
（1）當(dāng)a=2時，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a＞0，且對x∈（0，2e]時，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a＞x（1-lnx）對x∈（0，2e]恒成立．，求出右邊的最大值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）a=2時，$f（x）=\frac{2}{x}+lnx-1$，所以$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}$，
則f'（1）=-1，又f（1）=1，
所以切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
（2）因?yàn)閍＞0，且對x∈（0，2e]時，f（x）＞0恒成立，
即$\frac{a}{x}+lnx-1＞0$對x∈（0，2e]很成立，所以a＞x（1-lnx）對x∈（0，2e]恒成立．
設(shè)g（x）=x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，
則g'（x）=1-lnx-1=-lnx，
當(dāng)0＜x＜1時，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)1＜x≤e時，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
所以g（x）_max=g（1）=1-ln1=1，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，屬于中檔題．