Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點P到定點F（1，0）的距離和它到定直線x=2的距離比是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)過點Q（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0）的直線l與曲線C交于點M，N，求證：點A（$\sqrt{2}$，0）在以MN為直經(jīng)的圓上．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點P（x，y），依題意可得$\frac{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}{|x-2|}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由此能求出動點P的軌跡方程．
（2）設(shè)直線l的方程為$x=my+\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ x=my+\frac{{\sqrt{2}}}{3}.\end{array}\right.$，得$（{m^2}+2）{y^2}+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}my-\frac{16}{9}=0$，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能證明點$A（\sqrt{2}，0）$在以MN為直徑的圓上．

解答 解：（1）設(shè)點P（x，y），
依題意可得$\frac{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}{|x-2|}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（2分）
整理得，x²+2y²=2．…（4分）
所以動點P的軌跡方程為x²+2y²=2．
證明：（2）依題意，設(shè)直線l的方程為$x=my+\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=2\\ x=my+\frac{{\sqrt{2}}}{3}.\end{array}\right.$，得$（{m^2}+2）{y^2}+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}my-\frac{16}{9}=0$．…①…（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁，y₂是方程①的兩根，
所以$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{{2\sqrt{2}m}}{{3（{m^2}+2）}}\\{y_1}•{y_2}=-\frac{16}{{9（{m^2}+2）}}.\end{array}\right.$，
且${x_1}=m{y_1}+\frac{{\sqrt{2}}}{3}，{x_2}=m{y_2}+\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．…（7分）
$\begin{array}{l}因為\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（\sqrt{2}-{x_1}，-{y_1}）•（\sqrt{2}-{x_2}，-{y_2}）\end{array}$…（8分）
=（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-my₁，-y₁）•（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-my₂，-y₂）
=$\frac{8}{9}+\frac{8{m}^{2}}{9（{m}^{2}+2）}$-（1+m²）×$\frac{16}{9（1+{m}^{2}）}×\frac{16}{9（{m}^{2}+2）}$

=$\frac{8}{9}-\frac{2\sqrt{2}}{3}m（{y}_{1}+{y}_{2}）+（1+{m}^{2}）{y}_{1}{y}_{2}$ …（9分）
=$\frac{8{m}^{2}+16+8{m}^{2}-16-16{m}^{2}}{9（{m}^{2}+2）}$=0…（10分）
所以，AM⊥AN．…（11分）
所以點$A（\sqrt{2}，0）$在以MN為直徑的圓上．…（12分）

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查點在圓上的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積、橢圓性質(zhì)的合理運用．