Question

19．設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知$\frac{1}{3}$S₃，$\frac{1}{4}$S₄的等比中項(xiàng)為$\frac{1}{5}$S₅；$\frac{1}{3}$S₃，$\frac{1}{4}$S₄的等差中項(xiàng)為1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a，公差為d，則S_n=na+$\frac{n（n-1）}{2}$d，再由等比數(shù)列和等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，列方程，解方程可得a，d，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a，公差為d，
則S_n=na+$\frac{n（n-1）}{2}$d，依題意，有
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}（3a+3d）•\frac{1}{4}（4a+6d）=\frac{1}{25}（5a+10d）^{2}}\\{\frac{1}{3}（3a+3d）+\frac{1}{4}（4a+6d）=2}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{3ad+5fkyioca^{2}=0}\\{2a+\frac{5}{2}d=2}\end{array}\right.$，
∴a=1，d=0或a=4，d=-$\frac{12}{5}$．
∴a_n=1或a_n=$\frac{32}{5}$-$\frac{12}{5}$n，
經(jīng)檢驗(yàn)，a_n=1和a_n=$\frac{32}{5}$-$\frac{12}{5}$n均合題意．
∴所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=1或a_n=$\frac{32}{5}$-$\frac{12}{5}$n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．