Question

17．已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂都有$\frac{{x}_{1}f（{x}_{2}）-{x}_{2}f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0成立，則不等式f（$\frac{1}{x}$）-$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$＜0的解集為（1，+∞）．

Answer 1

分析 不妨設x₁＜x₂，從而便可得到x₁f（x₂）-x₂f（x₁）＞0，這樣該不等式的兩邊x₁x₂便可得出$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}＜\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，這樣根據(jù)增函數(shù)的定義即可得出函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上單調遞增，而不等式$f（\frac{1}{x}）-\frac{f（x）}{{x}^{2}}＜0$可變成$\frac{f（\frac{1}{x}）}{\frac{1}{x}}＜\frac{f（x）}{x}$，從而得出$\frac{1}{x}＜x$，這樣解該不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：根據(jù)題意，設x₁＜x₂，則：x₂-x₁＞0；
∴x₁f（x₂）-x₂f（x₁）＞0；
∵x₁，x₂∈（0，+∞）；
∴$\frac{{x}_{1}f（{x}_{2}）-{x}_{2}f（{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}-\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}＞0$；
即$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}＜\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$；
∴$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上為增函數(shù)；
$f（\frac{1}{x}）-\frac{f（x）}{{x}^{2}}=f（\frac{1}{x}）-\frac{f（x）}{x}•\frac{1}{x}＜0$；
∴$f（\frac{1}{x}）＜\frac{f（x）}{x}•\frac{1}{x}$；
∴$\frac{f（\frac{1}{x}）}{\frac{1}{x}}＜\frac{f（x）}{x}$；
∵f（x）為增函數(shù)；
∴$\frac{1}{x}＜x$，且x＞0；
解得x＞1；
∴原不等式的解集為（1，+∞）．
故答案為：（1，+∞）．

點評 考查函數(shù)定義域的定義，不等式的性質，以及增函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)定義解不等式的方法．