Question

4．已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，已知幾何體A-BCED的體積為16．將直角三角形△ABD繞斜邊AD旋轉(zhuǎn)一周，則BD=2；該旋轉(zhuǎn)體的表面積為$\frac{32+8\sqrt{2}}{3}π$．

Answer 1

分析 由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用幾何體A-BCED的體積為16，求BD的值；過B作AD的垂線BH，垂足為H，得BH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求出圓錐底面周長為C，結(jié)合兩個圓錐的母線長，即可求該旋轉(zhuǎn)體的表面積．

解答 解：由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，
體積V=$\frac{1}{3}$•4•$\frac{1}{2}$（a+4）×4=16，
解得a=BD=2；
在RT△ABD中，AB=4$\sqrt{2}$，BD=2，AD=6，
過B作AD的垂線BH，垂足為H，得BH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
該旋轉(zhuǎn)體由兩個同底的圓錐構(gòu)成，圓錐底面半徑為BH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
所以圓錐底面周長為C=2π•$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$，
兩個圓錐的母線長分別為4$\sqrt{2}$和2，
故該旋轉(zhuǎn)體的表面積為S=$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$（2+4$\sqrt{2}$）=$\frac{32+8\sqrt{2}}{3}π$．
故答案為：2，$\frac{32+8\sqrt{2}}{3}π$

點評 本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．