Question

4．康杰中學(xué)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組開展“學(xué)生語文成績與外語成績的關(guān)系”的課題研究，在全市高三年級學(xué)生中隨機抽取100名同學(xué)的上學(xué)期期末語文和外語成績，按優(yōu)秀和不優(yōu)秀分類得結(jié)果：語文和外語都優(yōu)秀的有16人，語文成績優(yōu)秀但外語不優(yōu)秀的有14人，外語成績優(yōu)秀但語文不優(yōu)秀的有10人．
（1）根據(jù)以上信息，完成下面2×2列聯(lián)表：

	語文優(yōu)秀	語文不優(yōu)秀	總計
外語優(yōu)秀	16	10
外語不優(yōu)秀	14
總計

（2）能否判定在犯錯誤概率不超過0.001的前提下認(rèn)為全市高三年級學(xué)生的“語文成績與外語成績有關(guān)系”？
（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，從全市高三年級學(xué)生成績中，隨機抽取3名學(xué)生的成績，記抽取的3名學(xué)生成績中語文、外語兩科成績至少有一科優(yōu)秀的個數(shù)為X，求X的分布列和期望E（X）．

p（K2≥k0）	0.010	0.005	0.001
k0	6.635	7.879	10.828

附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
其中：n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）由題意填寫列聯(lián)表即可；
（2）計算觀測值，對照臨界值即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意知隨機變量X～B（3，$\frac{2}{5}$），
計算對應(yīng)的概率，寫出X的分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）由題意得列聯(lián)表：

	語文優(yōu)秀	語文不優(yōu)秀	總計
外語優(yōu)秀	16	10	26
外語不優(yōu)秀	14	60	74
總計	30	70	100

…（3分）
（2）因為${K^2}=\frac{{100×（16×60-10×14{）^2}}}{26×74×30×70}≈16.642＞10.828$，
所以能在犯錯概率不超過0.001的前提下，
認(rèn)為全市高三年級學(xué)生“語文成績與外語成績有關(guān)系”；  …（7分）
（3）由已知數(shù)據(jù)，語文、外語兩科成績至少一科為優(yōu)秀的概率是$\frac{2}{5}$，…（8分）
則X～B（3，$\frac{2}{5}$），$P（x=k）=C_3^k{（\frac{2}{5}）^k}{（\frac{3}{5}）^{3-k}}，k=0\;，\;1\;，\;2\;，\;3$；…（10分）
X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…（11分）
數(shù)學(xué)期望為$E（X）=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$．…（12分）

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，也考查了獨立性檢驗問題，是中檔題．