Question

12．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|，且不等式f（x）≤5的解集為{x|-2≤x≤3}．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值．
（Ⅱ）解不等式f（x）-|x+2|＞x+1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得不等式f（x）≤5 的解集，再根據(jù)它的解集為{x|-2≤x≤3}，求得a的值．
（Ⅱ）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤5，即|2x-a|≤5，∴-5≤2x-a≤5，∴$\frac{a-5}{2}$≤x≤$\frac{a+5}{2}$．
再根據(jù)不等式f（x）≤5的解集為{x|-2≤x≤3}，可得$\frac{a-5}{2}$=-2，且 $\frac{a+5}{2}$=3，可得a=1．
（Ⅱ）不等式f（x）-|x+2|＞x+1，即|2x-1|≥|x+2|+x+1，
即 $\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{1-2x≥-1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x≥2x+3}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x-1≥2x+3}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-2，解②求得-2＜x≤-$\frac{1}{2}$，解③求得x∈∅，
綜上可得，原不等式的解集為{x x≤-$\frac{1}{2}$}．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．