Question

已知函數(shù)：f（x）=3x²-2mx-1，g（x）=|x|-

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4

．
（1）若存在x₀∈（-1，2），使f（x₀）≥0，求m的取值范圍；
（2）若對任意的x∈（-1，2），f（x）≥g（x），求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=3x²-2mx-1恒過定點（0，-1）且開口向上，要使得存在x₀∈（-1，2），使f（x₀）≥0，只要f（-1）和f（2）中有一個大于0即可，列出不等式，解出即可得m的取值范圍；
（2）根據(jù)|x|的定義，討論去掉絕對值，結合題中x∈（-1，2）分為-1＜x＜0，x=0，0＜x＜2三種情況討論，利用參變量分離后，將恒成立問題轉化成求函數(shù)的最值，從而求得m的取值范圍．

解答：解：（1）若存在x₀∈（-1，2），使f（x₀）≥0，
根據(jù)二次函數(shù)f（x）=3x²-2mx-1恒過定點（0，-1）且開口向上，
∴f（-1）＞0或f（2）＞0，即2m+2＞0或-4m+11＞0，解得m∈R．  
∴m的取值范圍為R．
（2）由題意，對任意的x∈（-1，2），f（x）≥g（x）恒成立，
∴3x²-2mx-1≥|x|-

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4

對任意的x∈（-1，2）恒成立，
①當-1＜x＜0時，3x²-（2m-1）x+

3

4

≥0，即3|x|²+（2m-1）|x|+

3

4

≥0對任意的x∈（-1，0）恒成立，
∴1-2m≤3|x|+

3

4|x|

對任意的x∈（-1，0）恒成立，即1-2m≤（3|x|+

3

4|x|

）_min，
∵3|x|+

3

4|x|

≥2

3|x|• 3 4|x|

=3，當且僅當x=-

1

2

時取等號，
∴（3|x|+

3

4|x|

）_min=3，
∴1-2m≤3，解得，m≥-1．
②當x=0時，-1≥-

7

4

恒成立，
∴m∈R．
③當0＜x＜2時，3x²-（2m+1）x+

3

4

≥0對任意的x∈（0，2）恒成立，
∴2m+1≤3x+

3

4x

對任意的x∈（0，2）恒成立，即2m+1≤（3x+

3

4x

）_min，
∵3x+

3

4x

≥2

3x• 3 4x

=3，當且僅當x=

1

2

時取等號，
∴（3x+

3

4x

）_min=3，
∴2m+1≤3，解得，m≤1．
綜合①②③，實數(shù)m的取值范圍是[-1，1]．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質，以及函數(shù)的恒成立問題．對于恒成立問題，一般選用參變量分離，轉化成求函數(shù)的最值．本題同時考查了基本不等式的應用，在應用時要注意基本不等式成立的條件．屬于中檔題．