一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長(zhǎng)為的正四面體封閉容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球表面永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是          ．                            


[解] 如答12圖1，考慮小球擠在一個(gè)角時(shí)的情況，記小球半徑為，作平面//平面，與小球相切于點(diǎn)，則小球球心為正四面體的中心，，垂足為的中心．

因

        

，

故，從而．

記此時(shí)小球與面的切點(diǎn)為，連接，則

．

考慮小球與正四面體的一個(gè)面(不妨取為)相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，記為，如答12圖2．記正四面體

的棱長(zhǎng)為，過(guò)作于．

   因，有，故小三角形的邊長(zhǎng)．

小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答12圖2中陰影部分）

．　　　　　　　　　

又，，所以

．

由對(duì)稱性，且正四面體共4個(gè)面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


用4種顏色給一個(gè)正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)染色，若同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)不能用相同的顏色，那么不同的染色方法共有__ ______種。 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


．將平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算相類比，易得下列結(jié)論：

（1）                          

（2）  

（3）                

（4）由可得

   以上通過(guò)類比得到的結(jié)論正確的有：（       ）

A．１個(gè)　　　　　　　B．２個(gè)　　　　　  C．３個(gè)　　　　　　　   D．４個(gè)　

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三個(gè)平面最多把空間分割成                 個(gè)部分。

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從個(gè)正整數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于的概率為,則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


如圖，AB是底面半徑為1的圓柱的一條母線，O為下底面中心，BC是下底面的一條切線。

（1）求證：OB⊥AC；

（2）若AC與圓柱下底面所成的角為30°，OA=2。求三棱錐A-BOC的體積。

 


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設(shè)，則(     )

A．    B．    C．    D．   

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若，且，則稱調(diào)和分割點(diǎn)，已知平面上的點(diǎn)調(diào)和分割點(diǎn)可能是線段，則下面說(shuō)法正確的是（    ）

A．可能是線段的中點(diǎn)      B．可能是線段的中點(diǎn)

C．C、D可能同時(shí)在線段上   D．不可能同時(shí)在線段的延長(zhǎng)線上

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為____________

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