Question

5．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的宣傳費(fèi)x_i和年銷售量y_i（i=1，2，3，..8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中：w_i=$\sqrt{{x}_{i}}$，$\overrightarrow{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{n}$w_i
（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$，哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
（Ⅱ）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z=0.2y-x，根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問題：
（i）當(dāng)年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？
（ii）當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂）…（u_n，v_n），其回歸線$\widehat{v}$=$\widehat{α}$+$\widehat{β}$$\overline{u}$的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)散點(diǎn)圖的大體分布是否成直線分布判斷；
（II）根據(jù)回歸系數(shù)公式計(jì)算y關(guān)于ω的線性回歸方程，再轉(zhuǎn)化為y關(guān)于x的回歸方程；
（III）求出利潤(rùn)z關(guān)于年宣傳費(fèi)x的函數(shù)，根據(jù)回歸方程計(jì)算銷售量和利潤(rùn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出利潤(rùn)的極大值點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）由散點(diǎn)圖可以判斷y=c+d$\sqrt{x}$適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費(fèi)用x的回歸方程類型
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于d=$\sum_{1}^{8}$$\frac{（{w}_{i}-\overline{w}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{8}（{w}_{i}-\overline{w}）^{2}}$=$\frac{108.8}{1.6}$=68，∴c=$\overline{y}$-d$\overline{w}$=563-68×6.8=100.6+68w，
∴y關(guān)于w的線性方程為y=100.6+68w，
∴y關(guān)于x的線性方程為y=100.6+68$\sqrt{x}$
（Ⅲ）（�。┊�(dāng)x=49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值y=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
z=576.6×0.2-49=66.32．
（ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
∴當(dāng)$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8，即x=46.24時(shí)，z取得最大值．
故宣傳費(fèi)用為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求解及數(shù)值預(yù)測(cè)，函數(shù)的最值，屬于中檔題．