Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），若$\frac{h（x）-g（x）}{{x-{x_0}}}$＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”．當(dāng)a=4時(shí)，試問(wèn)y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）法一：a=4時(shí)，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到切線方程根據(jù)新定義問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，f（x）＜g（x），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出即可；
法二：猜想y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為${x_0}=\sqrt{2}$，然后加以證明即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵$f（x）=x_{\;}^2-（a+2）x+alnx$，
∴$f'（x）=2x-（a+2）+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-（a+2）x+a}}{x}=\frac{{2（x-\frac{a}{2}）（x-1）}}{x}$…（1分）
∵a＞2，∴$\frac{a}{2}＞1$，
令f′（x）＞0，即$\frac{{2（x-\frac{a}{2}）（x-1）}}{x}＞0$，
∵x＞0，∴0＜x＜1或$x＞\frac{a}{2}$，…（2分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），$（{\frac{a}{2}，+∞}）$…（3分）
（Ⅱ）解法一：當(dāng)a=4時(shí)，$f'（x）=\frac{{2{x^2}-6x+4}}{x}$
所以在點(diǎn)P處的切線方程為$g（x）=\frac{{2x_0^2-6{x_0}+4}}{x_0}（{x-{x_0}}）+x_0^2-6{x_0}+4ln{x_0}$…（4分）
若函數(shù)$f（x）=x_{\;}^2-6x+4lnx$存在“類對(duì)稱點(diǎn)”P（x₀，f（x₀）），
則等價(jià)于當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，f（x）＜g（x），
當(dāng)x＞x₀時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立．…（5分）
①當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立，
等價(jià)于$x_{\;}^2-6x+4lnx＜\frac{{2x_0^2-6{x_0}+4}}{x_0}（{x-{x_0}}）+x_0^2-6{x_0}+4ln{x_0}$恒成立，
即當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，${x_0}x_{\;}^2-（{2x_0^2+4}）x+4{x_0}lnx+x_0^3+4{x_0}-4{x_0}ln{x_0}＜0$恒成立，
令$φ（x）={x_0}x_{\;}^2-（{2x_0^2+4}）x+4{x_0}lnx+x_0^3+4{x_0}-4{x_0}ln{x_0}$，則φ（x₀）=0，…（7分）
要使φ（x₀）＜0在0＜x＜x₀恒成立，只要φ（x）在（0，x₀）單調(diào)遞增即可．
又∵$φ'（x）=2{x_0}x_{\;}^2-（{2x_0^2+4}）+\frac{{4{x_0}}}{x}=\frac{{2（{{x_0}x-2}）（{x-{x_0}}）}}{x}$，…（8分）
∴${x_0}≤\frac{2}{x_0}$，即$0＜{x_0}≤\sqrt{2}$．…（9分）
②當(dāng)x＞x₀時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立時(shí)，${x_0}≥\sqrt{2}$．…（10分）
∴${x_0}=\sqrt{2}$．…（11分）
所以y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為$\sqrt{2}$．…（12分）

（Ⅱ）解法二：
猜想y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為${x_0}=\sqrt{2}$．…（4分）下面加以證明：
當(dāng)${x_0}=\sqrt{2}$時(shí)，$g（x）=（{4\sqrt{2}-6}）x-6+2ln2$…（5分）
①當(dāng)$0＜x＜\sqrt{2}$時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立，
等價(jià)于$x_{\;}^2-6x+4lnx＜（{4\sqrt{2}-6}）x-6+2ln2$恒成立，
令$φ（x）=x_{\;}^2-4\sqrt{2}x+4lnx+6-2ln2$…（7分）
∵$φ'（x）=2x-4\sqrt{2}+\frac{4}{x}＞0$，∴函數(shù)φ（x）在$（{0，\sqrt{2}}）$上單調(diào)遞增，
從而當(dāng)$0＜x＜\sqrt{2}$時(shí)，$φ（x）＜φ（\sqrt{2}）=0$恒成立，
即當(dāng)$0＜x＜\sqrt{2}$時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立．…（9分）
②同理當(dāng)$x＞\sqrt{2}$時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立．…（10分）
綜上知y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為${x_0}=\sqrt{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查新定義的理解，是一道綜合題．