【題目】如圖，在直三棱柱中，，， ，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)），為線段上一動(dòng)點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面即證

（Ⅱ）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，代入公式可得結(jié)果.

（I）證明：因?yàn)?/span>，為線段的中點(diǎn)，

所以，

在直三棱柱中，易知平面，

，而；

平面，；

又因?yàn)?/span>，；

所以平面，

又平面；所以平面平面；

（II）由（I）可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>所以，

則，

，

設(shè)，

所以，

因?yàn)?/span>，，

所以，

，

解得：（異于點(diǎn)） ,

設(shè)平面 的法向量為 ，則

即 ，可取 ，

設(shè)直線與平面所成角為 ，

則 ,

直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)

討論的單調(diào)性；

若是的極值點(diǎn)，且曲線在兩點(diǎn) 處的切線相互平行，這兩條切線在軸上的截距分別為，求的取值范圍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列、滿足 (N*)，則稱為數(shù)列的“偏差數(shù)列”.

（1）若為常數(shù)列，且為的“偏差數(shù)列”，試判斷是否一定為等差數(shù)列，并說明理由；

（2）若無窮數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列，且，為數(shù)列的“偏差數(shù)列”，求的值；

（3）設(shè)，為數(shù)列的“偏差數(shù)列”，，且，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)M的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地因受天氣，春季禁漁等因素影響，政府規(guī)定每年的7月1日以后的100天為當(dāng)年的捕魚期.某漁業(yè)捕撈隊(duì)對(duì)噸位為的20艘捕魚船一天的捕魚量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表所示：

捕魚量(單位：噸)

頻數(shù)

2

7

7

3

1

根據(jù)氣象局統(tǒng)計(jì)近20年此地每年100天的捕魚期內(nèi)的晴好天氣情況如下表（捕魚期內(nèi)的每個(gè)晴好天氣漁船方可捕魚，非晴好天氣不捕魚）：

晴好天氣(單位：天)

頻數(shù)

2

7

6

3

2

（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作代表）

（Ⅰ）估計(jì)漁業(yè)捕撈隊(duì)噸位為的漁船一天的捕魚量的平均數(shù)；

（Ⅱ）若以（Ⅰ）中確定的平均數(shù)作為上述噸位的捕魚船在晴好天氣捕魚時(shí)一天的捕魚量.

①估計(jì)一艘上述噸位的捕魚船一年在捕魚期內(nèi)的捕魚總量；

②已知當(dāng)?shù)佤~價(jià)為2萬元/噸，此種捕魚船在捕魚期內(nèi)捕魚時(shí)，每天成本為10萬元/艘；若不捕魚，每天成本為2萬元/艘，請依據(jù)往年天氣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(Ⅱ)設(shè)，若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橢圓上一點(diǎn)，且在軸上的正投影為右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，試問：直線的斜率是否為定值；若是，請求出其定值；否則，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)，，，對(duì)角線，交于點(diǎn)P.

（1）求直線的方程；

（2）若點(diǎn)E，F分別在平行四邊形的邊和上運(yùn)動(dòng)，且，求的取值范圍；

（3）試寫出三角形區(qū)域（包括邊界）所滿足的線性約束條件，若在該區(qū)域上任取一點(diǎn)M，使，試求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）若，求的取值范圍；

（2）若，且，證明：。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

品牌

甲

乙

首次出現(xiàn)故

障時(shí)間x(年)

0<x≤1

1<x≤2

x>2

0<x≤2

x>2

轎車數(shù)量(輛)

2

3

45

5

45

每輛利潤

(萬元)

1

2

3

1.8

2.9

將頻率視為概率，解答下列問題：

(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率．

(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列．

(3)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由．

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