Question

9．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在軸上，焦距為2，離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P是橢圓C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心為I，半徑為$\frac{1}{2}$．求：
（i）點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（ii）直線PI的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），由焦距為2，離心率為$\frac{1}{2}$，列方程組解得a²=4，b²=3，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）（i）由|PF₁|+|PF₂|=4，得|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=6，利用△PF₁F₂的面積能求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
（ii）先求出直線PF₁的方程，設(shè)I（${x}_{0}，\frac{1}{2}$），由點(diǎn)到直線的距離公式能求出直線PI的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}}\\{{a}^{2}-^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）（i）∵|PF₁|+|PF₂|=4，∴在△PF₁F₂中，|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=6，
∴△PF₁F₂的面積${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）•r=$\frac{1}{2}×6×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
又${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|•{y}_{P}$，
∴${y}_{P}=\frac{3}{2}$，由$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{P}}^{2}}{3}=1$，得x_P=1，∴P（1，$\frac{3}{2}$）．
（ii）∵P（1，$\frac{3}{2}$），F(xiàn)₁（-1，0），∴直線PF₁的方程為$\frac{y-0}{\frac{3}{2}-0}$=$\frac{x+1}{1+1}$，
∴3x-4y+3=0，
∵△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為$\frac{1}{2}$，∴設(shè)I（${x}_{0}，\frac{1}{2}$），
則$\frac{|3{x}_{1}-4×\frac{1}{2}+3|}{5}$=$\frac{1}{2}$，
解得${x}_{0}=\frac{1}{2}$或${x}_{0}=-\frac{7}{6}$（舍）．
∴直線PI的方程為y=2x-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程、點(diǎn)的坐標(biāo)、直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．