Question

1．已知動圓過點M（2，0），且被y軸截得的線段長為4，記動圓圓心的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）問：x軸上是否存在一定點P，使得對于曲線C上的任意兩點A和B，當$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R）時，恒有△PAM與△PBM的面積之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$？若存在，則求P點的坐標，否則說明理由．

Answer 1

分析 （1）設動圓圓心的坐標為C（x，y），由題意可得：2²+|x|²=（x-2）²+y²，化簡整理即可得出．
（2）設P（a，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R），可知：M，A，B三點共線，設直線AB的方程為：x=my+2，代入拋物線方程可得：y²-4my-8=0..由△PAM與△PBM的面積之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$，可得：PM平分∠APB，因此直線PA，PB的傾斜角互補，即k_PA+k_PB=0，利用斜率計算公式、根與系數(shù)的關系化簡即可得出．

解答 解：（1）設動圓圓心的坐標為C（x，y），由題意可得：2²+|x|²=（x-2）²+y²，化為：y²=4x．
∴動圓圓心的軌跡方程為：y²=4x．
（2）設P（a，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R），可知：M，A，B三點共線．
設直線AB的方程為：x=my+2，代入拋物線方程可得：y²-4my-8=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8．由△PAM與△PBM的面積之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$，可得：PM平分∠APB，
因此直線PA，PB的傾斜角互補，
∴k_PA+k_PB=0，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=0，
把x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入可得：$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（2-a）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（m{y}_{1}+2-a）（m{y}_{2}+2-a）}$=0，
∴-16m+（2-a）×4m=0，化為：m（a+2）=0，由于對于任意m都成立，∴a=-2．
故存在定點（-2，0），滿足條件．

點評 本題考查了拋物線與圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題問題轉化為一元二次方程的根與系數(shù)的關系、斜率計算公式、角平分線的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．