Question

已知函數(shù)在處有極大值．

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在拋物線的下方，求的取值范圍．

（2）若過原點(diǎn)有三條直線與曲線相切，求的取值范圍；

 

 

Answer 1

（1） ；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)極大值點(diǎn)的條件確定的值；而當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在拋物線的下方，等價(jià)于在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，于是問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間的最值問題；

（2）設(shè)切點(diǎn)為，利用切線斜率的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)于的方程，

然后將此方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題．

試題解析：【解析】
（1），

或，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，舍去；

當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在處取得極大值，符合題意，∴．（3分）

∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在拋物線的下方，

∴在時(shí)恒成立，

即在時(shí)恒成立，令，

則，由得，．

∵，，，，

∴在上的最小值是，．（6分）

（2），設(shè)切點(diǎn)為，

則切線斜率為，

切線方程為，

即 ，

∴．

令，則，

由得，．

函數(shù)的單調(diào)性如下：

	↗	極大值	↘	極小值	↗

 

∴當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同的解，過原點(diǎn)有三條直線與曲線相切．（12分）

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想；3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義．