Question

4．已知橢圓以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，以拋物線y²=16x的焦點(diǎn)為其中一個(gè)焦點(diǎn)，以雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），且C，D分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)M是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$的最小值；
（3）若E，F(xiàn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則當(dāng)直線PE，PF的斜率都存在，并記為k_PE，k_PF時(shí)，k_PE•k_PF是否為定值，若時(shí)求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)拋物線、雙曲線方程，利用各自的定義計(jì)算即可；
（2）通過(guò)設(shè)M（x₀，y₀），可知直線CD的方程，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$的最小值；
（3）通過(guò)設(shè)點(diǎn)E（m，n）可得F（-m，-n），設(shè)P（x，y），利用斜率的公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）拋物線y²=16x的焦點(diǎn)（4，0），
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點(diǎn)（±5，0），
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∴a=5，c=4，∴b²=25-16=9，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）設(shè)M（x₀，y₀），由題意知直線CD的方程為$\frac{x}{5}+\frac{y}{3}=1$，
即y=-$\frac{3}{5}$x+3（0≤x≤5），
則y₀=-$\frac{3}{5}$x₀+3（0≤x₀≤5），$\overrightarrow{AM}$=（x₀+1，y₀），$\overrightarrow{BM}$=（x₀-1，y₀），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$=x₀²+y₀²-1
=x₀²+（-$\frac{3}{5}$x₀+3）²-1
=$\frac{34}{25}$（x₀-$\frac{45}{34}$）²+$\frac{191}{34}$（0≤x₀≤5），
∴當(dāng)x₀=$\frac{45}{34}$時(shí)，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$取得最小值為$\frac{191}{34}$；
（3）結(jié)論：k_PE•k_PF是定值，且定值為-$\frac{9}{25}$．
理由如下：
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-m，-n）、$\frac{{m}^{2}}{25}+\frac{{n}^{2}}{9}=1$，
又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
由k_PE=$\frac{y-n}{x-m}$，k_PF=$\frac{y+n}{x+m}$，得：k_PE•k_PF=$\frac{y-n}{x-m}$•$\frac{y+n}{x+m}$=$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$，
化簡(jiǎn)得：k_PE•k_PF=$\frac{\frac{9}{25}（{m}^{2}-{x}^{2}）}{{x}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{9}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．