Question

12．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2a_n-S_n=1，n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在數(shù)列{a_n}的每兩項之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構成新數(shù)列{b_n}，在a_n和a_n+1兩項之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)構成等差數(shù)列，求b₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-1可得當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-1，兩式相減可得，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1a_n=2a_n-1，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式；
（2）設a_n和a_n+1兩項之間插入n個數(shù)后，可求得d_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{2n-1}{n+1}$，又（1+2+3+…+61）+61=1952，2013-1952=61，從而可求b₂₀₁₃的值；

解答 解：（1）∵2a_n-S_n=1，∴S_n=2a_n-1，S₁=2a₁-1，即a₁=1，
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-1，
兩式子相減可得，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1；
（2）設a_n和a_n+1兩項之間插入n個數(shù)后，這n+2個數(shù)構成的等差數(shù)列的公差為d_n，則d_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{{2}^{n-1}}{n+1}$，
又（1+2+3+…+61）+61=1952，2013-1952=61，
∴b₂₀₁₂為以a₆₂為首項，以d₆₂為公差的第61項．
∴b₂₀₁₃=a₆₂+（61-1）•d₆₂=${2}^{61}+60×\frac{{2}^{61}}{63}$=$\frac{123}{63}×{2}^{61}$．

點評 本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，解答（2）的關鍵是對題意的理解，明確b₂₀₁₂為以a₆₂為首項，以d₆₂為公差的第61項是解答該題的關鍵，屬中高檔題．