Question

9．若$\overrightarrow{AB}$=（x，y），x∈{0，1，2}，y∈{-2，0，1），$\vec a$=（1，-1），則$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{a}$的夾角為銳角的概率是$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 由此結(jié)合題中數(shù)據(jù)得到x＞y且x+y≠0，再計(jì)算出所有（x，y）的取法，和符合條件的（x，y）的取法，用隨機(jī)事件的概率公式可算出所求的概率．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{a}$的夾角θ，$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{a}$的夾角為銳角，即θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{a}$|cosθ＞0
∵$\overrightarrow{AB}$=（x，y），$\vec a$=（1，-1），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{a}$=x-y＞0，同時(shí)$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{a}$的不平行，得x+y≠0，
∵x∈{0，1，2}，y∈{-2，0，1），
∴x，y的所有取法有3×3=9種，
其中x＞y且x+y≠0的取法有：（0，-2），（1，-2），（1，0），（2，0），（2，1），共5種情況，
故則$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{a}$的夾角為銳角的概率是$\frac{5}{9}$，
故答案為：$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題以隨機(jī)事件的概率的計(jì)算為載體，考查了向量數(shù)量積的計(jì)算公式和兩向量夾銳角角的充要條件等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．