Question

下列五個(gè)命題：
①直線l的斜率k∈[-1，1]，則直線l的傾斜角的范圍是α∈[-

π

4

，

π

4

]；
②過點(diǎn)A（5，2）在兩坐標(biāo)軸上的截距相等直線l的方程是x+y-7=0；
③如果實(shí)數(shù)x，y滿足方程（x-2）²+y²=1，那么

y

x

的最大值為

3

3

；
④方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圓的充要條件是m＜

1

4

或m＞1；
正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：直接由直線斜率的范圍求得傾斜角的范圍判斷①；分類求出直線l的方程判斷②；
設(shè)出與圓相切的直線方程，由圓心到切線的距離等于半徑求出切線的斜率判斷③；
由D²+E²-4F＞0求出m的范圍判斷④．

解答： 解：對于①，直線l的斜率k∈[-1，1]，則直線l的傾斜角的范圍是[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π)，命題①錯(cuò)誤；
對于②，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A（5，2）在兩坐標(biāo)軸上的截距相等直線l的方程是x+y=m，
則5+2=m，m=7，則直線方程為x+y-7=0；當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y=

2

5

x，命題②錯(cuò)誤；
對于③，如果實(shí)數(shù)x，y滿足方程（x-2）²+y²=1，
設(shè)過原點(diǎn)且與圓（x-2）²+y²=1相切的直線方程為kx-y=0，由

|2k|

k2+1

=1，解得k=±

3

3

．
即

y

x

的最大值為

3

3

，命題③正確；
對于④，方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圓的充要條件是（4m）²+（-2）²-20m＞0，解得m＜

1

4

或m＞1，
命題④正確．
∴正確的命題是③④．
故答案為：③④．

點(diǎn)評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了直線和圓相切的條件，考查了二元二次方程表示圓的條件，是中檔題．