Question

12．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2．a(chǎn)₂=1，$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{2}{n}$．

Answer 1

分析 由已知遞推式可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$}是常數(shù)列$\frac{1}{2}$，進(jìn)一步得到數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，由此求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：由$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
又a₁=2，a₂=1，得$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$}是常數(shù)列$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$，
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n}$．
故答案為：$\frac{2}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．