Question

10．已知拋物線C：x²=4y．
（1）若點(diǎn)P（x₀，y₀）是拋物線C上一點(diǎn)，求證：過點(diǎn)P的拋物線C的切線方程為x₀x=2（y+y₀）
（2）點(diǎn)M是拋物線C準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求|AB|的最小值的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，化簡可得所求方程；
（2）求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)出切點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（t，-1），求得切線MA．，MB的方程，進(jìn)而得到切點(diǎn)弦方程，可得經(jīng)過焦點(diǎn)F，即可得到AB的最小值為拋物線的通徑長，可得M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）證明：y=$\frac{1}{4}$x²的導(dǎo)數(shù)為y'=$\frac{1}{2}$x，
則過點(diǎn)P的拋物線C的切線斜率為$\frac{1}{2}$x₀，
切線方程為y-y₀=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），
即為y-y₀=$\frac{1}{2}$x₀x-$\frac{1}{2}$x₀²=$\frac{1}{2}$x₀x-2y₀，
即為過點(diǎn)P的拋物線C的切線方程為x₀x=2（y+y₀）；
（2）拋物線C：x²=4y的準(zhǔn)線方程為y=-1，焦點(diǎn)F（0，1），
設(shè)切點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（t，-1），
又y=$\frac{1}{4}$x²的導(dǎo)數(shù)為y'=$\frac{1}{2}$x，
則切線MA的方程為：y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
即y=$\frac{1}{2}$x₁x-y₁，
切線PB的方程為：y-y₂=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂）即y=$\frac{1}{2}$x₂x-y₂，
由M（t，-1）是MA、MB交點(diǎn)可知：-1=$\frac{1}{2}$x₁t-y₁，-1=$\frac{1}{2}$x₂t-y₂，
∴過A、B的直線方程為-1=$\frac{1}{2}$tx-y，
即$\frac{1}{2}$tx-y+1=0，
所以直線AB：$\frac{1}{2}$tx-y+1=0過定點(diǎn)F（0，1）．
則|AB|的最小值為拋物線的通徑長2p=4，
此時(shí)M的坐標(biāo)為（0，-1）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系：相切，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．