Question

15．已知圓x²+y²-2y-3=0經(jīng)過橢圓的兩個焦點(diǎn)，且與該橢圓只有一個交點(diǎn)，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出橢圓方程，求解圓與x軸的交點(diǎn)得c，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合可得b，再由隱含條件求得a，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求．

解答 解：圓的方程x²+y²-2y-3=0化為標(biāo)準(zhǔn)式為x²+（y-1）²=4，可知圓心（0，1），半徑為2，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
在方程x²+（y-1）²=4中取y=0，可得x=$±\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
又∵圓與橢圓只有一個交點(diǎn)，
如圖可得b=3，
∴a²=12．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．