Question

20．如圖，已知四棱錐P-ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是邊長為2的正方形，M、N分別為PB、PC的中點．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）若PA與平面ABCD所成的角為45°，求四棱錐P-ABCD的體積V．

Answer 1

分析 （I）由中位線定理得出MN∥BC，由MN∥AD，故MN∥AD，得出MN∥平面PAD；
（II）由∠PAD=45°得出PD=AD，于是棱錐體積V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•PD$．

解答 （Ⅰ）證明：∵M、N分別是棱PB、PC中點，
∴MN∥BC，
又 ABCD是正方形，∵AD∥BC，
∴MN∥AD．
∵MN?平面PAD，AD?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，∴PA與平面ABCD所成的角為∠PAD，
∴∠PAD=45°．
∴PD=AD=2，
故四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×2=\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎題．