Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=qa_n+2q-2（q為常數(shù)），若a₃，a₄，a₅∈{-5，-2，-1，7}，則a₁=-2或-$\frac{17}{9}$或79．

Answer 1

分析 觀察已知式子，移項變形為a_n+1+2=q（a_n+2），從而得到a_n+2與a_n+1+2的關(guān)系，分a_n=-2和a_n≠-2討論，當a_n≠-2時構(gòu)造公比為q的等比數(shù)列{a_n+2}，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=qa_n+2q-2（q為常數(shù)，），
∴a_n+1+2=q（a_n+2），n=1，2，…，
下面對a_n是否為2進行討論：
①當a_n=-2時，顯然有a₃，a₄，a₅∈{-5，-2，-1，7}，此時a₁=-2；
②當a_n≠-2時，{a_n+2}為等比數(shù)列，
又因為a₃，a₄，a₅∈{-5，-2，-1，7}，
所以a₃+2，a₄+2，a₅+2∈{-3，0，1，9}，
因為a_n≠-2，所以a_n+2≠0，
從而a₃+2=1，a₄+2=-3，a₅+2=9，q=-3或a₃+2=9，a₄+2=-3，a₅+2=1，q=-$\frac{1}{3}$
代入a_n+1=qa_n+2q-2，可得到a₁=-$\frac{17}{9}$，或a₁=79；
綜上所述，a₁=-2或-$\frac{17}{9}$或79，
故答案為：-2或-$\frac{17}{9}$或79．

點評 本題考查數(shù)列的遞推式，對數(shù)列遞推式能否成功變形是解答本題的關(guān)鍵所在，要分類討論思想在本體重的應(yīng)用，否則容易漏解，注意解題方法的積累，屬于難題．