Question

7．在平面直角坐標系xOy中，以點A（2，0），曲線y=$\sqrt{1-{x^2}}$上的動點B，第一象限內(nèi)的點C，構(gòu)成等腰直角三角形ABC，且∠A=90°，則線段OC長的最大值是1+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)B（cosθ，sinθ），0≤θ≤π，C（m，n）（m，n＞0），運用兩點的距離公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得m，n的方程，解方程可得C的坐標，運用兩點的距離公式，化簡整理，運用正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：曲線y=$\sqrt{1-{x^2}}$是以O(shè)為圓心，1為半徑的上半圓，
可設(shè)B（cosθ，sinθ），0≤θ≤π，C（m，n）（m，n＞0），
由等腰直角三角形ABC，可得
AB⊥AC，即有$\frac{n}{m-2}$•$\frac{sinθ}{cosθ-2}$=-1，①
|AB|=|AC|，即有$\sqrt{（m-2）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（cosθ-2）^{2}+si{n}^{2}θ}$，
即為（m-2）²+n²=（cosθ-2）²+sin²θ，②
由①②解得m=2+sinθ，n=2-cosθ，
或m=2-sinθ，n=cosθ-2（舍去）．
則|OC|=$\sqrt{（2+sinθ）^{2}+（2-cosθ）^{2}}$
=$\sqrt{8+si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+4sinθ-4cosθ}$
=$\sqrt{9+4\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}$，
當θ-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{3π}{4}$∈[0，π]，取得最大值$\sqrt{9+4\sqrt{2}}$=1+2$\sqrt{2}$．
故答案為：1+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查兩點的距離公式的運用，考查圓的參數(shù)方程的運用，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，同時考查正弦函數(shù)的值域，以及運算能力，屬于中檔題．