Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，-2≤x≤-1}\\{ln（x+2），-1＜x≤2}\end{array}\right.$，若g（x）=f（x）-a（x+2）的圖象與x軸有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e-1}$）
• B． （0，$\frac{1}{3e}$）
• C． [$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{2ln2}{3}$，$\frac{1}{3e}$）

Answer 1

分析 g（x）的圖象與x軸有3個不同的交點可化為y=f（x）與y=a（x+2）有3個不同交點，從而作圖求解．

解答 解：∵g（x）的圖象與x軸有3個不同的交點，
∴y=f（x）與y=a（x+2）有3個不同交點，
作y=f（x）與y=a（x+2）的圖象如下，
易知直線y=a（x+2）過定點A（-2，0），斜率為a．
當直線y=a（x+2）與y=ln（x+2）相切時是一個臨界狀態(tài)，
設(shè)切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{a=y′=\frac{1}{{x}_{0}+2}}\\{a（{x}_{0}+2）=ln（{x}_{0}+2）}\end{array}\right.$，
解得，x₀=e-2，a=$\frac{1}{e}$，
又函數(shù)過點B（2，ln4），
k_AB=$\frac{ln4}{2-（-2）}$=$\frac{ln2}{2}$，
故$\frac{ln2}{2}$≤a＜$\frac{1}{e}$．
故選C．

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的交點的關(guān)系應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，注意臨界狀態(tài)的確定．