Question

16．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A₁，B₁，點(diǎn)M是A₁B₁的中點(diǎn)，若|AF|=m，|BF|=n，則|MF|=（　�。�

• A． m+n
• B． $\frac{m+n}{2}$
• C． $\sqrt{mn}$
• D． mn

Answer 1

分析 由拋物線的定義及內(nèi)錯角相等，可得∠AFA₁=∠A₁FE，同理可證∠BFB₁=∠B₁FE，再利用平角為180°，即∠AFA₁+∠A₁FE+∠BFB₁+∠B₁FE=180°，可得∠A₁FB₁=90°，利用|MF|=$\frac{1}{2}$|A₁B₁|，可得結(jié)論．

解答 解：如圖：設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，
∵A、B在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為A₁、B₁，
由拋物線的定義可得，AA₁=AF，
∴∠AA₁F=∠AFA₁，又由內(nèi)錯角相等得∠AA₁F=∠A₁FE，
∴∠AFA₁=∠A₁FE．
同理可證∠BFB₁=∠B₁ FE．   
由∠AFA₁+∠A₁FE+∠BFB₁+∠B₁FE=180°，
∴∠A₁FE+∠B₁FE=∠A₁FB₁=90°
∴|MF|=$\frac{1}{2}$|A₁B₁|
∵|AF|=m，|BF|=n，∴|A₁B₁|=$\sqrt{（m+n）^{2}-（m-n）^{2}}$=2$\sqrt{mn}$，
∴|MF|=$\frac{1}{2}$|A₁B₁|=$\sqrt{mn}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題的考點(diǎn)是拋物線的簡單性質(zhì)，主要考查拋物線的定義，考查兩條直線平行，內(nèi)錯角相等，其中推出∠AFA₁=∠A₁FK是解題的關(guān)鍵．