【題目】已知定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2)=0,且在(﹣∞,0)上是增函數(shù);又定義行列式=a1a4﹣a2a3; 函數(shù)g(θ)=(其中0≤θ≤).
(1)證明:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上也是增函數(shù);
(2)若函數(shù)g(θ)的最大值為4,求m的值;
(3)若記集合M={m|任意的0≤θ≤ , g(θ)>0},N={m|任意的0≤θ≤ , f[g(θ)]<0},求M∩N.

【答案】證明:(1)在(0,+∞)上任取x1 , x2 , 令x1<x2 ,
∵定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2)=0,且在(﹣∞,0)上是增函數(shù),
∴f(x1)﹣f(x2)=﹣f(﹣x1)+f(﹣x2)=f(﹣x2)﹣f(﹣x1)<0,
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上也是增函數(shù).
解:(2)g(θ)=
=sin2θ+mcosθ﹣3m
=1﹣cos2θ+mcosθ﹣3m,
=﹣(cosθ﹣2+,
∵函數(shù)g(θ)的最大值為4,f(x)在(﹣∞,0)上是增函數(shù),又f(x)是奇函數(shù),
∴f(x)在(0,+∞)也是增函數(shù),
∵θ∈[0,],∴cosθ∈[0,1],
g(θ)的最大值只可能在cosθ=0(),cosθ=1(),cosθ=(0<)處取得,
若cosθ=0,g(θ)=4,則有1﹣3m=4,m=﹣1,此時=-,符合;
若cosθ=1,g(θ)=4,則有﹣2m=4,m=﹣2,此時=-1,不符合;
若cosθ=,g(θ)=4,則有=4,m=6+4或m=6﹣4,此時=3+2或m=3﹣2,不符合;
綜上,m=﹣1.
(3)∵f(x)是定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),且滿足f(2)=0,∴f(﹣2)=0,
又f(x)在(﹣∞,0),(0,+∞)上均是增函數(shù),
由f[g(θ)]<0,得g(θ)<﹣2,或2>g(θ)>0,
又M={m|恒有g(shù)(θ)>0},N={m|恒有f[g(θ)]<0}={m|恒有g(shù)(θ)<﹣2,或2>g(θ)>0},
∴M∩N={m|恒有0<g(θ)<2},即不等式0<﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1<2在θ∈[0,]恒成立,
當(dāng)m>=
=﹣(3﹣cosθ)﹣()+6=﹣[(3﹣cosθ)+()]+6,
∵θ∈[0,],∴cosθ∈[0,1],3﹣cosθ∈[2,3],
∴7≥(3﹣cosθ)+(,﹣[(3﹣cosθ)+()]+6∈[﹣1,﹣],
此時,m>﹣;
=﹣(3﹣cosθ)﹣()+6=﹣[(3﹣cosθ)+()]+6,
∵θ∈[0,],∴cosθ∈[0,1],3﹣cosθ∈[2,3],
∴7≥(3﹣cosθ)+(,﹣[(3﹣cosθ)+()]+6∈[﹣1,﹣],
此時,m>﹣
當(dāng)m<=
=﹣(3﹣cosθ)﹣()+6
=﹣[(3﹣cosθ)+()]+6,
∴6≥(3﹣cosθ)+(,﹣[(3﹣cosθ)+()]+6∈[0,6﹣4],
此時,m<0;
綜上,m∈(﹣,0).
∴M∩N=(﹣,0).
【解析】(1)利用定義法能證明函數(shù)f(x)在(0,+∞)上也是增函數(shù).
(2)由已知可判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,由定義表示出g(θ),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論可表示出其最大值,令其為4可求m值;
(3)由f[g(θ)]<0,得g(θ)<﹣2,或2>g(θ)>0,則M={m|恒有g(shù)(θ)>0},N={m|恒有f[g(θ)]<0}={m|恒有g(shù)(θ)<﹣2,或2>g(θ)>0},從而M∩N={m|恒有0<g(θ)<2},轉(zhuǎn)化為不等式0<﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1<2在θ∈[0,]恒成立,分離出參數(shù)m后,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可,變形后借助“對勾函數(shù)”的性質(zhì)可求得最值;

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠擬造一座平面為長方形,面積為三級污水處理池.由于地形限制,長、寬都不能超過,處理池的高度一定.如果池的四周墻壁的造價為,中間兩道隔墻的造價為,池底的造價為,則水池的長、寬分別為多少米時,污水池的造價最低?最低造價為多少元?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,BAD=60,G為BC的中點.

(1)求證:FG平面BED;

(2)求證:平面BED平面AED;

(3)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù), 處取得極值,且,曲線處的切線與直線垂直.

(Ⅰ)求的解析式;

(Ⅱ)證明關(guān)于的方程至多只有兩個實數(shù)根(其中的導(dǎo)函數(shù), 是自然對數(shù)的底數(shù)).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=4x﹣2x+1+3,當(dāng)x∈[﹣2,1]時,f(x)的最大值為m,最小值為n,
(1)若角α的終邊經(jīng)過點P(m,n),求sinα+cosα的值;
(2)g(x)=mcos(nx+)+n,求g(x)的最大值及自變量x的取值集合.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在中, , , 邊上的高,沿折起,使。

(Ⅰ)證明:平面平面;

(Ⅱ)的中點,求與底面所成角的正切值。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知{an}是一個等差數(shù)列且a2+a8=﹣4a6=2

1)求{an}的通項公式;

2)求{an}的前n項和Sn的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓,過上一點的切線的方程為.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)過點且斜率不為的直線交橢圓于兩點,試問軸上是否存在點,使得?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左頂點為A,右焦點為F,過點F的直線交橢圓于BC兩點.

(1)求該橢圓的離心率;

(2)設(shè)直線ABAC分別與直線x=4交于點MN,問:x軸上是否存在定點P使得MPNP?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案