Question

已知函數(shù)y=2

3

sinxcosx+2cos2x-1，若f（x₀）=

6

5

，

π

4

≤x₀≤

π

3

，則cos2x₀=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：運用二倍角的正弦和余弦公式，兩角和的正弦公式，化簡函數(shù)式，再由x₀的范圍，確定2x₀+

π

6

的范圍，再由同角公式和兩角差的余弦公式計算即可得到，注意角的變換：2x₀=（2x₀+

π

6

）-

π

6

．

解答： 解：函數(shù)y=2

3

sinxcosx+2cos2x-1
=

3

sin2x+cos2x=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

），
f（x₀）=

6

5

，即為sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，

π

4

≤x₀≤

π

3

，則

2π

3

≤2x₀+

π

6

≤

5π

6

，
則有cos（2x₀+

π

6

）=-

1- 9 25

=-

4

5

，
則有cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=-

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

3-4 3

10

．
故答案為：

3-4 3

10

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查二倍角公式和兩角和的正弦公式及兩角差的余弦公式的運用，考查角的變換和運算能力，屬于中檔題和易錯題．