Question

13．設(shè)a＞0，b＞0．若$\sqrt{3}$是3^a與3^2b的等比中項(xiàng)，則$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$的最小值為8．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得3^a×3^2b=（$\sqrt{3}$）²，變形化簡(jiǎn)可得a+2b=1，進(jìn)而有$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=（a+2b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）=4+（$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$），結(jié)合基本不等式可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$的最小值，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若$\sqrt{3}$是3^a與3^2b的等比中項(xiàng)，
則有3^a×3^2b=（$\sqrt{3}$）²，即3^a+2b=3，
則有a+2b=1；
則$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=（a+2b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）=4+（$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$）≥4+2$\sqrt{4}$=8；
即$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$的最小值為8；
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出a+2b=1．