Question

一個(gè)多面體的直觀圖、主視圖、左視圖、俯視圖如圖，M、N分別為A₁B、B₁C₁的中點(diǎn)．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（　�。�
①直線MN與A₁C相交．
②MN⊥BC．
③MN∥平面ACC₁A₁．
④三棱錐N-A₁BC的體積為V_N-A1BC=

1

6

a3．

• A、4個(gè)
• B、3個(gè)
• C、2個(gè)
• D、1個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：簡單空間圖形的三視圖

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)直線MN與A₁C是異面直線，可判定①錯(cuò)誤；
連接AC₁，交A₁C于O，連接OM，證明MN∥OC₁，可證MN∥平面ACC₁A₁，③正確；
再證BC⊥平面ACC₁A₁，OC₁?平面ACC₁A₁，從而證明BC⊥OC₁，故MN⊥BC，②正確；
根據(jù)VN-A1BC=VA1-BCN=

1

3

×

1

2

×a×a×a=

1

6

a³．可得④正確．

解答： 解：∵直線MN與A₁C是異面直線，∴①錯(cuò)誤；
如圖連接AC₁，交A₁C于O，連接OM，∵M(jìn)、O分別是BA₁、CA₁的中點(diǎn)，
∴OM∥BC，OM=

1

2

BC，又BC∥B₁C₁，BC=B₁C₁，N為B₁C₁的中點(diǎn)，
∴OM∥NC₁，OM=NC₁，∴四邊形OMNC₁為平行四邊形，∴MN∥OC₁，
BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC₁A₁，OC₁?平面ACC₁A₁，∴BC⊥OC₁，
∴MN⊥BC，②正確；
又MN?平面ACC₁A₁，BC?平面ACC₁A₁，∴MN∥平面ACC₁A₁，③正確；
∵A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，∴A₁C₁為三棱錐A₁-BCN的高，
∴VN-A1BC=VA1-BCN=

1

3

×

1

2

×a×a×a=

1

6

a³．∴④正確．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面平行的判定及棱錐的體積計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．