Question

8．（1）求證：$A_9^9-9A_8^8+8A_7^7=A_8^8$
（2）求${（{2{x^3}-\frac{1}{{4{x^3}}}}）^{10}}$的展開式的常數(shù)項(xiàng)．
（3）求（1+x+x²）（1+x）¹⁰的展開式中x⁴的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用階乘公式，即可證明；
（2）根據(jù)題意${（{2{x^3}-\frac{1}{{4{x^3}}}}）^{10}}$的展開式通項(xiàng)為T_r+1=C₁₀^r（2x³）^10-r（-$\frac{1}{4{x}^{3}}$）^r=C₁₀^r•2^10-r•（-4）^-r（x）^30-6r，
令x的指數(shù)為0，可得r的值，即可得其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第6項(xiàng)，將r=5代入通項(xiàng)可得T₆，即可得答案；
（3）在（1+x+x²）（1+x）¹⁰的展開式中，含x⁴項(xiàng)是1×C₁₀⁴x⁴+x•C₁₀³x³+x²•C₁₀²x²，由此能求出其系數(shù)．

解答 （1）證明：左邊=9！-9•8！+8•7！=9！-9！+8！=${A}_{8}^{8}$=右邊，
∴$A_9^9-9A_8^8+8A_7^7=A_8^8$；
（2）解：根據(jù)題意${（{2{x^3}-\frac{1}{{4{x^3}}}}）^{10}}$的展開式通項(xiàng)為T_r+1=C₁₀^r（2x³）^10-r（-$\frac{1}{4{x}^{3}}$）^r=C₁₀^r•2^10-r•（-4）^-r（x）^30-6r，
令30-6r=0，可得r=5，即其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第6項(xiàng)，
則T₆=-$\frac{63}{8}$，即其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-$\frac{63}{8}$；
（3）解：1×C₁₀⁴x⁴+x•C₁₀³x³+x²•C₁₀²x²
=210x⁴+120x⁴+45x⁴
=375x⁴．
∴在（1+x+x²）（1+x）¹⁰的展開式中，含x⁴項(xiàng)的系數(shù)是375．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵要正確寫出并化簡該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)．