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1.已知函數fn(x)=$\frac{{n{x^2}-ax}}{{{x^2}+1}}({n∈{N^*}})$的圖象在點(0,fn(0))處的切線方程為y=-x
(Ⅰ)求a的值及f1(x)的單調區(qū)間
(Ⅱ)是否存在實數k,使得射線y=kx(x≥-3)與曲線y=f1(x)有三個公共點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由
(Ⅲ)設x1,x2,…xn,為正實數,且x1,x2,…xn=1,證明:fn(x1)+fn(x2)+…+fn(xn)≥0.

分析 (Ⅰ)求出fn(x)的導數,求得切線的斜率,由切線方程可得a=1,求出f1(x)的導數,令導數大于0,可得增區(qū)間,令導數小于0,可得減區(qū)間;
(Ⅱ)由y=$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$和y=kx,可得$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$=kx,解得x=0或$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$=k,要使射線y=kx(x≥-3)與曲線y=f1(x)有三個公共點,只要$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$=k,即kx2-x+k+1=0有兩個大于等于-3且不為0的不等實根.對k討論,k=0和k不為0,結合二次函數的圖象,列出不等式組,解得即可;
(Ⅲ)求出y=fn(x)在($\frac{1}{n}$,fn($\frac{1}{n}$))處的切線的方程,當0<x<1時,fn(x)≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$(x-$\frac{1}{n}$),運用累加法,即可得證.

解答 解:(Ⅰ)fn(x)=$\frac{{n{x^2}-ax}}{{{x^2}+1}}({n∈{N^*}})$的導數為f′n(x)=$\frac{a{x}^{2}+2nx-a}{({x}^{2}+1)^{2}}$,
即有在點(0,fn(0))處的切線斜率為f′n(0)=-a=-1,
解得a=1,
f1(x)=$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$,f′1(x)=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{({x}^{2}+1)^{2}}$,
f′1(x)>0,解得x>$\sqrt{2}$-1或x<-1-$\sqrt{2}$;
f′1(x)<0,解得-1-$\sqrt{2}$<x<$\sqrt{2}$-1.
即有f1(x)的單調增區(qū)間為(-∞,-$\sqrt{2}$-1)∪($\sqrt{2}$-1,+∞),
單調減區(qū)間為(-1-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$-1);
(Ⅱ)由y=$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$和y=kx,可得$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$=kx,解得x=0或$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$=k,
要使射線y=kx(x≥-3)與曲線y=f1(x)有三個公共點,
只要$\frac{x-1}{{x}^{2}+1}$=k,即kx2-x+k+1=0有兩個大于等于-3且不為0的不等實根.
當k=0時,方程即為x=1,不合題意舍去;
當k≠0時,令g(x)=kx2-x+k+1,
由$\left\{\begin{array}{l}{kg(-3)>0}\\{g(0)≠0}\\{△>0}\\{\frac{1}{2k}>-3}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{k(10k+4)>0}\\{k+1≠0}\\{1-4k(1+k)}\\{\frac{1}{2k}>-3}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{k>0或k<-\frac{2}{5}}\\{k≠-1}\\{\frac{-1-\sqrt{2}}{2}<k<\frac{-1+\sqrt{2}}{2}}\\{k>0或k<-\frac{1}{6}}\end{array}\right.$,
解得0<k<$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{2}}{2}$<k<-1或-1<k≤-$\frac{2}{5}$.
綜上存在實數k,使得射線y=kx(x≥-3)與曲線y=f1(x)有三個公共點,
且k的范圍是(0,$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$)∪($\frac{-1-\sqrt{2}}{2}$,-1)∪(-1,-$\frac{2}{5}$];
(Ⅲ)證明:fn(x)=$\frac{n{x}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$的導數為f′n(x)=$\frac{{x}^{2}+2nx-1}{({x}^{2}+1)^{2}}$,
fn($\frac{1}{n}$)=0,f′n($\frac{1}{n}$)=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$,
即有y=fn(x)在($\frac{1}{n}$,fn($\frac{1}{n}$))處的切線的方程為y=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$(x-$\frac{1}{n}$),
當0<x<1時,fn(x)-$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$(x-$\frac{1}{n}$)=$\frac{n{x}^{2}-x}{{x}^{2}+1}$-$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$(x-$\frac{1}{n}$)=$\frac{(n-x)(nx-1)^{2}}{({x}^{2}+1)({n}^{2}+1)}$≥0,
即有fn(x)≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$(x-$\frac{1}{n}$),
xi>0(i=1,2,…,n),且x1+x2+…+xn=1,即有0<xi<1,i=1,2,…,n.
fn(xi)≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$(xi-$\frac{1}{n}$),
fn(x1)+fn(x2)+…+fn(xn)≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$(x1-$\frac{1}{n}$+x2-$\frac{1}{n}$+…+xn-$\frac{1}{n}$)
即有fn(x1)+fn(x2)+…+fn(xn)≥$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$(x1+x2+…+xn-$\frac{1}{n}$•n)=0,
綜上可得fn(x1)+fn(x2)+…+fn(xn)≥0.

點評 本題考查導數的運用:求切線方程和單調區(qū)間、極值和最值,同時考查二次方程實根的分布,考查分類討論的思想方法以及化簡整理的運算能力和不等式的證明,屬于中檔題和易錯題.

練習冊系列答案
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