Question

13．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，F(xiàn)₁（-2，0）、F₂（2，0）為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線上一點(diǎn)，且∠F₁MF₂=60°，則△F₁MF₂的面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出c，a，再設(shè)出|MF₁|=m，|MF₂|=n，利用雙曲線的定義以及余弦定理列出關(guān)系式，求出mn的值，最后求解三角形的面積．

解答 解：∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，F(xiàn)₁（-2，0）、F₂（2，0）為其兩個(gè)焦點(diǎn)，
∴c=2，a=$\sqrt{3}$，
設(shè)|MF₁|=m，|MF₂|=n，
∵點(diǎn)M是雙曲線上一點(diǎn)，且∠F₁MF₂=60°，
∴|m-n|=2$\sqrt{3}$①，m²+n²-2mncos60°=16②，
由②-①²得mn=4
∴△F₁MF₂的面積S=$\frac{1}{2}$mnsin60°=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線的定義以及余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．