Question

9．已知函數(shù)f（x）=xe^x，g（x）=x²-x-a，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）+g（x）≥0對任意x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）f（x）+g（x）≥0恒成立等價(jià)于a≤xe^x+x²-x，令F（x）=xe^x+x²-x，通過求導(dǎo)得到函數(shù)F（x）的單調(diào)性，從而判斷出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（x+1），令f′（x）=0得x=-1，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞-1時(shí)，f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（-∞，-1]，遞增區(qū)間為（-1，+∞）；
（Ⅱ）f（x）+g（x）≥0恒成立等價(jià)于a≤xe^x+x²-x，
令F（x）=xe^x+x²-x，則F′（x）=xe^x+e^x+2x-1，
顯然當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0；當(dāng)x＜0時(shí)F′（x）＜0；當(dāng)x=0時(shí)F′（x）=0，
所以F（x）在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，
∴F（x）≥F（0）=0，∴a≤F（0）=0，
故a的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．