Question

已知函數f（x）=ln（x+1）+ax²-x，a∈R．
（Ⅰ）當a=

1

4

時，求函數y=f（x）的極值；
（Ⅱ）是否存在實數b∈（1，2），使得當x∈（-1，b]時，函數f（x）的最大值為f（b）？若存在，求實數a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）將a=

1

4

代入到f（x）的表達式中并求導，計算其單調區(qū)間從而確定其極值．
（Ⅱ）f′（x）=

x(2ax-(1-2a))

x+1

，注意到分子中x前的系數為2a，則分成a≤0和a＞0兩種情況討論．其中，當a＞0時，f′(x)=

2ax(x-( 1 2a -1))

x+1

，（x＞-1）再分成

1

2a

-1＞0和

1

2a

-1＜0兩種情況分別討論計算．

解答： 解：（Ⅰ）當a=

1

4

時，f（x）=ln(x+1)+

1

4

x2-x，
則f′(x)=

1

x+1

+

1

2

x-1，化簡得f′(x)=

x(x-1)

2(x+1)

，（x＞-1）
∴函數在（-1，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，且f（0）=0，f（1）=ln2-

3

4

，
∴函數y=f（x）在x=1處取到極小值為ln2-

3

4

，在x=0處取到極大值為0．
（Ⅱ）由題意f′（x）=

x(2ax-(1-2a))

x+1

，
（1）當a≤0時，函數f（x）在（-1，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，
此時，不存在實數b∈（1，2）使得當x∈（-1，b]時，函數f（x）的最大值為f（b）；
（2）當a＞0時，令f′（x）=0，有x=0或x=

1

2a

-1，
①當a=

1

2

時，函數f（x）在（-1，+∞）上單調遞增，顯然符合題意；
②當

1

2a

-1＞0即0＜a＜

1

2

時，函數f（x）在（-1，0）和（

1

2a

-1，+∞）上單調遞增，在（0，

1

2a

-1）上單調遞減，
此時由題，只需f（1）＞0，解得a＞1-ln2，又1-ln2＜

1

2

，
∴此時實數a的取值范圍是1-ln2＜a＜

1

2

③當

1

2a

-1＜0即a＞

1

2

時，函數f（x）在（-1，

1

2a

-1）和（0，+∞）上單調遞增，在（

1

2a

-1，0）上單調遞減，
要存在實數b∈（1，2），使得當x∈（-1，b]時，函數f（x）的最大值為f（b），
則f（

1

2a

-1）＜f（1），代入化簡得ln2a+

1

4a

+ln2-1＞0   （*）
令g(a)=ln2a+

1

4a

+ln2-1(a＞

1

2

)，因g′(a)=

1

a

(1-

1

4a

)＞0恒成立，
故恒有g(a)＞g(

1

2

)=ln2-

1

2

＞0，∴a＞

1

2

時，（*）式恒成立．
綜上，實數a的取值范圍是（1-ln2，+∞）．

點評：本題主要運用了分類討論的方法，由條件逐層分析，逐步確定分類條件，一步一步討論，直至將問題解決，在用分類討論的方法解決問題時，要記住做到“不重不漏”．