Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax在（-∞，-1]上遞減，且g（x）=2x+

a

x

在（1，2]上既有最大值，又有最小值，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f′（x）=-3x²+a，由函數(shù)f（x）=-x³+ax在（-∞，-1]上遞減，得a≤3；g′(x)=2-

a

x2

，當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）有最大值，無(wú)最小值，不合要求當(dāng)1＜a≤3時(shí)，g（x）_min=g（

a

），g（x）_max=g（2）．符合要求，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=-x³+ax，∴f′（x）=-3x²+a，
∵函數(shù)f（x）=-x³+ax在（-∞，-1]上遞減，
∴a≤3．
∵g（x）=2x+

a

x

，∴g′(x)=2-

a

x2

，
當(dāng)a≤1時(shí)，g'（x）在（1，2]上恒大于零，
此時(shí)g（x）有最大值，無(wú)最小值，不合要求
當(dāng)1＜a≤3時(shí)，由g'（x）=0，得x=

a

，
g（x）_min=g（

a

），g（x）_max=g（2）．符合要求，
綜上1＜a≤3．即a的取值范圍是（1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．