Question

19．直線l過拋物線C：y²=4x的焦點，且與拋物線C交于A、B兩點，過點A、B分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P、Q，則四邊形APQB的面積的最小值為（　�。�

• A． 6
• B． 8
• C． $8\sqrt{2}$
• D． $10\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分直線AB的斜率不存在與存在兩種情況討論，當直線AB的斜率存在時，利用韋達定理、雙曲線的第二定義、函數(shù)的單調(diào)性即得結(jié)論．

解答 解：如圖，F(xiàn)（1，0），線面對直線AB的斜率進行討論：
①當直線AB的斜率不存在時，此時直線AB的方程為：x=1，
∴A（1，-2），B（1，2），
此時P（-1，-2），Q（-1，2），
∴S_{四邊形APQB}=AP•PQ=2×4=8；
②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為：y=k（x-1），
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線與拋物線方程得$\frac{k}{4}$y²-y-k=0，
由韋達定理可得y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4，
∴（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$+16，
又∵（x₁-x₂）²=[（x₁-1）-（x₂-1）]²=[$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{k}$]²=$\frac{16-16{k}^{2}}{{k}^{4}}$，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{{k}^{4}}+16}$，
∴S_{四邊形APQB}=$\frac{1}{2}$（AP+BQ）•PQ=$\frac{1}{2}$AB•PQ=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{\frac{16}{{k}^{4}}+16}$•$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+16}$，
令t=$\frac{1}{{k}^{2}}$，則S_{四邊形APQB}=$\frac{1}{2}$•16•$\sqrt{（{t}^{2}+1）（t+1）}$=8$\sqrt{{t}^{3}+{t}^{2}+t+1}$，
記f（t）=t³+t²+t+1，則f′（t）=3t²+2t+1＞0，
即f（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴S_{四邊形APQB}＞8；
綜上所述，當直線AB的斜率不存在時，四邊形APQB的面積最小，
故選：B．

點評 本題是一道直線與雙曲線的綜合題，涉及到韋達定理、雙曲線的第二定義、函數(shù)的單調(diào)性等知識，考查計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．