【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,橢圓的一個頂點為,右焦點到直線的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準方程;
(2)若過作兩條互相垂直的直線,且交橢圓于、兩點,交橢圓于、兩點,求四邊形的面積的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由題意布列關(guān)于a,b的方程組,解之即可;
(2)討論直線的斜率,聯(lián)立方程利用韋達定理表示弦長,進而得到四邊形的面積,借助對勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可得到結(jié)果.
(1)依題意,設(shè)橢圓的方程為:
則,
設(shè),由右焦點到直線的距離為,可得,
解得或(舍去).
所以,.
故橢圓的方程為:.
(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時,此時的斜率為0,此時,
,則四邊形的面積.
②當(dāng)直線的斜率為0,此時的斜率不存在,同理可得四邊形的面積.
③當(dāng)直線的斜率存在,且斜率時,,則,將直線的方程代入橢圓方程中,并化簡整理得,
可知,
設(shè)、,則有
則
同理可得
則的面積.
令,則
,
令,則有,則.
綜上,.
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【題目】“十三五”規(guī)劃確定了到2020年消除貧困的宏偉目標(biāo),打響了精準扶貧的攻堅戰(zhàn),為完成脫貧任務(wù),某單位在甲地成立了一家醫(yī)療器械公司吸納附近貧困村民就工,已知該公司生產(chǎn)某種型號醫(yī)療器械的月固定成本為20萬元,每生產(chǎn)1千件需另投入5.4萬元,設(shè)該公司一月內(nèi)生產(chǎn)該型號醫(yī)療器械x千件且能全部銷售完,每千件的銷售收入為萬元,已知
(1)請寫出月利潤y(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)月產(chǎn)量為多少千件時,該公司在這一型號醫(yī)療器械的生產(chǎn)中所獲月利潤最大?并求出最大月利潤(精確到0.1萬元).
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【題目】一個函數(shù),如果對任意一個三角形,只要它的三邊長、、都在的定義域內(nèi),就有、、也是某個三角形的三邊長,則稱為“保三角形函數(shù)”.
(1)若是定義在上的周期函數(shù),且值域為,證明:不是保三角形函數(shù);
(2)若是保三角形函數(shù),求的最大值.
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【題目】由數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),偶數(shù)共有______個,其中個位數(shù)字比十位數(shù)字大的偶數(shù)共有______個.
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【題目】某公司新上一條生產(chǎn)線,為保證新的生產(chǎn)線正常工作,需對該生產(chǎn)線進行檢測,現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機抽取100件產(chǎn)品,測量產(chǎn)品數(shù)據(jù),用統(tǒng)計方法得到樣本的平均數(shù),標(biāo)準差,繪制如圖所示的頻率分布直方圖,以頻率值作為概率估值.
(1)從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取一件,記其數(shù)據(jù)為X,依據(jù)以下不等式評判(P表示對應(yīng)事件的概率)
①
②
③
評判規(guī)則為:若至少滿足以上兩個不等式,則生產(chǎn)狀況為優(yōu),無需檢修;否則需檢修生產(chǎn)線,試判斷該生產(chǎn)線是否需要檢修;
(2)將數(shù)據(jù)不在內(nèi)的產(chǎn)品視為次品,從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取2件,次品數(shù)記為Y,求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的右頂點,離心率為,為坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知(異于點)為橢圓上一個動點,過作線段的垂線交橢圓于點,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求在點處的切線方程;
(2)若函數(shù)與在內(nèi)恰有一個交點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)令,如果圖象與軸交于,中點為,求證:.
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【題目】若一個三角形的邊長與面積都是整數(shù),則稱為“海倫三角形”;三邊長互質(zhì)的海倫三角形,稱為“本原海倫三角形”;邊長都不是3的倍數(shù)的本原海倫三角形,稱為“奇異三角形”.
(1)求奇異三角形的最小邊長的最小值;
(2)求證:等腰的奇異三角形有無數(shù)個;
(3)問:非等腰的奇異三角形有多少個?
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