已知函數(shù)f(x)=esinx+cosx-
1
2
sin2x(x∈R),則函數(shù)f(x)的最大值與最小值的差是
 
考點(diǎn):函數(shù)的最值及其幾何意義
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:令t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
),則t∈[-
2
,
2
],且sin2x=t2-1,利用導(dǎo)數(shù)法分析y=et-
1
2
(t2-1)在[-
2
2
]上單調(diào)性,進(jìn)而可得答案.
解答: 解:令t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
),則t∈[-
2
,
2
],
且sin2x=t2-1,
則y=f(x)=et-
1
2
(t2-1),
∵y′=et-t>0在t∈[-
2
,
2
]時(shí)恒成立,
故y=et-
1
2
(t2-1)在[-
2
2
]上為增函數(shù),
故函數(shù)f(x)的最大值與最小值的差是y| t=
2
-y| t=-
2
=(e
2
-
1
2
)-(e-
2
-
1
2
)=e
2
-e-
2
,
故答案為:e
2
-e-
2
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)求最值,常要借助函數(shù)的單調(diào)性,因?yàn)楸绢}構(gòu)成比較復(fù)雜,所以采用換元法簡化函數(shù)的解析式.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓方程
x2
2
+y2=1,AB為橢圓的弦,且AB=2,求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線kx-y+1=0與圓(x-1)2+y2=4的位置關(guān)系是( 。
A、相交B、相切
C、相離D、不確定,與k有關(guān)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有下列命題
①函數(shù)y=cos(x+
π
2
)是偶函數(shù);
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=
2
,k∈Z}
③直線x=
π
8
是函數(shù)y=sin(2x+
π
4
)圖象的一條對稱軸;
④函數(shù)y=sin(x+
π
6
)在(-
π
2
,
π
3
)上是單調(diào)增函數(shù);
⑤點(diǎn)(
π
6
,0)是函數(shù)y=tan(x+
π
3
)圖象的對稱中心.
⑥若f(sinx)=cos6x,則f(cos15°)=0;
其中正確命題的序號(hào)是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

滿足{1}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的個(gè)數(shù)為( 。
A、4B、6C、8D、16

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=log
1
9
2x+3
4x+7
,x∈[-1,1]的最小值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在透明材料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌注一些水,固定容器底面一邊BC于桌面上,再將容器傾斜根據(jù)傾斜度的不同,有下列命題:
(1)水的部分始終呈棱柱形;
(2)水面四邊形EFGH的面積不會(huì)改變;
(3)棱A1D1始終與水面EFGH平行;
(4)當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí),BE•BF是定值.
其中所有正確命題的序號(hào)是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=lg
2x-1
x2-1
的定義域是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知曲線C:y=
1
x
在點(diǎn)P(1,1)處的切線與x軸交于點(diǎn)Q1,過點(diǎn)Q1作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P1,曲線C在點(diǎn)P1處的切線與x軸交于點(diǎn)Q2,過點(diǎn)Q2作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P2,…,依次得到一系列點(diǎn)P1、P2、…、Pn,設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為(xn,yn)(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求證:三角形PnPn+1Pn+2的面積為定值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案