Question

8．已知點A（1，-1），B（4，0），C（2，2），平面區(qū)域D是所有滿足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的點P（x，y）組成的區(qū)域．若區(qū)域D的面積為4，則ab-a-b=（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 延長AB到點N，延長AC到點M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，則四邊形ABEC，ANGM，EHGF均為平行四邊形．由題意可知：點P（x，y）組成的區(qū)域D為圖中的四邊形EFGH及其內(nèi)部．利用向量的夾角公式可得cos∠CAB=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AB}|}$，利用四邊形EFGH的面積S=（a-1）$\sqrt{10}$×（b-1）×$\sqrt{10}$×$\frac{4}{5}$=4，求出ab-a-b的值即可．

解答 解：如圖所示：
，
延長AB到點N，延長AC到點M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，則四邊形ABEC，ANGM，EHGF均為平行四邊形．由題意可知：點P（x，y）組成的區(qū)域D為圖中的四邊形EFGH及其內(nèi)部．
∵$\overrightarrow{AB}$=（3，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，3），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2），
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{2}$，
∴cos∠CAB=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{6}{\sqrt{10}•\sqrt{10}}$=$\frac{3}{5}$，sin∠CAB=$\frac{4}{5}$，
∴四邊形EFGH的面積S=（a-1）$\sqrt{10}$×（b-1）×$\sqrt{10}$×$\frac{4}{5}$=4，
∴（a-1）（b-1）=$\frac{1}{2}$，即ab-a-b=-$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查了向量的夾角公式、數(shù)量積運算性質、平行四邊形的面積計算公式、基本不等式 的性質，考查了數(shù)形結合的思想方法，考查了推理能力與計算能力．