Question

18．函數(shù)f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$），已知y=f（x）的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸的距離為2，并過點(diǎn)（1，2）．
（1）求φ；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+（2015）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）的最大值為2，求出A，根據(jù)相鄰兩對(duì)稱軸的距離為2，求出ω，代入點(diǎn)求出φ即可；（2）求出f（x）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)值的規(guī)律，得到答案．

解答 解：（1）∵y=f（x）=Asin²（ωx+φ）=$\frac{A}{2}$-$\frac{A}{2}$cos（2ωx+2φ），
∵y=f（x）的最大值為2且A＞0，$\frac{A}{2}$+$\frac{A}{2}$+2，A=2，
又∵其圖象相鄰兩對(duì)稱軸的距離為2，?＞0，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{2π}{2ω}$）=2，ω=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=1-cos（$\frac{π}{2}$x+2φ）；
又∵f（x）過點(diǎn)（1，2），cos（$\frac{π}{2}$+2φ）=-1，$\frac{π}{2}$+2φ=2kπ+π，k∈z，
φ=kπ+$\frac{π}{4}$，（k∈z），
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$；
（2）∵φ=$\frac{π}{4}$，∴y=1-cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$）=1+sin$\frac{π}{2}$x，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+（2015）=503×4+2+1=2015．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求三角函數(shù)的表達(dá)式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)求值問題，是一道中檔題．