Question

函數(shù)f（x）=a•e^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行，求此時(shí)平行線的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行，確定a的值，從而可得切線方程，即可求得兩平行切線間的距離．

解答： 解：求導(dǎo)數(shù)可得f'（x）=ae^x，g′（x）=

1

x

，
又可知y=f（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，a），
y=g（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（a，0），
∵函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行，
∴f'（0）=g'（a），即a=

1

a

，又∵a＞0，∴a=1．∴f（x）=e^x，g（x）=lnx，
∴函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線方程分別為：x-y+1=0，x-y-1=0，
∴由兩平行切線間的距離距離公式可得距離為

|1-(-1)|

12+(-1)2

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查兩直線的位置關(guān)系和兩平行線間的距離，屬于基礎(chǔ)題．