Question

4．已知平面區(qū)域D由以A（2，4）、B（5，2）、C（3，1）為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成，若在區(qū)域D上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（x，y）可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，則m=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 方法一：利用數(shù)形結(jié)合法，畫(huà)出△ABC表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形知當(dāng)直線(xiàn)x+my=0與直線(xiàn)AC平行時(shí)，線(xiàn)段AC上的任意一點(diǎn)都可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，從而求出m的值．
方法二：根據(jù)題意，區(qū)域的三個(gè)頂點(diǎn)中一定有兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是最優(yōu)解，故此兩點(diǎn)處函數(shù)值相等，且小于第三個(gè)頂點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值，由此列出方程和不等式求出m的值．

解答 解：（方法一）依題意，滿(mǎn)足已知條件的三角形如圖所示：

令z=0，可得直線(xiàn)x+my=0的斜率為-$\frac{1}{m}$，
結(jié)合可行域可知當(dāng)直線(xiàn)x+my=0與直線(xiàn)AC平行時(shí)，
線(xiàn)段AC上的任意一點(diǎn)都可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，
而直線(xiàn)AC的斜率為$\frac{4-1}{2-3}$=-3，
所以-$\frac{1}{m}$=-3，解得m=$\frac{1}{3}$．
（方法二）依題意，2+4m=5+2m＜3+m①，
或2+4m=3+m＜5+2m②，
或3+m=5+2m＜2+4m③，
解得 m∈∅，或m=$\frac{1}{3}$，或m∈∅，
所以m=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)時(shí)，處理方法一般是：①將目標(biāo)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形，化成斜截式；②分析z與截距的關(guān)系，是符號(hào)相同，還是相反；③根據(jù)分析結(jié)果，結(jié)合圖形做出結(jié)論；④根據(jù)斜率相等求出參數(shù)．